Technischer Hinweis: Links in den Übungen öffnen Sie, indem sie darauf rechtsklicken und “Link in neuem Tab/Fenster öffnen” wählen.
Zum Aufwärmen ein paar einfache Übungen zu Wahrscheinlichkeiten
Sie werden in jedem Fall eine Zahl zwischen 1 und 6 werfen, etwas
anderes gibt es nicht. Die Gesamtwahrscheinlichkeit addiert sich
zu
\[P = 1/6 (für 1) + 1/6 (für 2) + 1/6 (für 3)
+ 1/6 (für 4) + 1/6 (für 5) + 1/6 (für 6) = 1\]
Die Wahrscheinlichkeit, keine 6 zu würfeln beträgt also
\[P(\neq 6) = 1/6 (für 1) + 1/6 (für 2) + 1/6 (für 3) + 1/6 (für 4) + 1/6 (für 5) = 5/6 \approx 83\%\]
In den folgenden Übungen arbeiten wir mit dem bereits bekannten
Datensatz physio.csv, der Daten von 228 Studierenden der
Physiotherapie enthält. Wenn Sie den Datensatz bei den Übungen zur
deskriptiven Statistik als physio.omv gespeichert haben,
sind die Variablen bereits kategorisiert und Sie arbeiten mit diesem
Datensatz, andernfalls laden Sie physio.csvin
jamovi und kategorisieren als erstes die Variablen wie
in den Übungen zur deskriptiven Statistik beschrieben.
Als erstes verschaffen wir uns einen Überblick zu den Kennzahlen der Körpergrösse der Studentinnen und stellen diese in einem Histogramm dar.
| n | m | median | s | min | max |
|---|---|---|---|---|---|
| 183 | 166.92 | 167 | 5.66 | 148 | 183 |
Anleitung für jamovi:
Wir arbeiten mit einem Teildatensatz für Studentinnen. Dazu müssen
wir unsere Daten Filtern. Das geht folgendermassen:
jamovi > Register Data > Menüband
Filters > im Fenster geben sie = Geschlecht ==
“w” ein und schliessen mit der Enter/Return-Taste ab. Im
Tabellenfenster links ist eine neue Spalte mit der Bezeichnung
Filter 1 erschienen. Bei den Frauen
(Geschlecht == “w”) sollte in dieser Spalte ein grünes
Häckchen und bei den Männern (Geschlecht== “m”) ein rotes X
eingetragen sein.
Hilfe zum Filtern von Daten bieten diese Video-Tutorials
Wenn der Filter gesetzt ist, können Sie die Kennzahlen und das Histogramm (ohne Normalverteilungskurve) in jamovi erstellen, wie wir das bei den Übungen zur deskriptiven Statistik gelernt haben.
Die Standardnormalverteilung ist gekennzeichnet durch den Mittelwert 0 und die Standardabweichung 1. Die Umwandlung einer beliebigen Verteilung erfolgt nach der Formel:
\[z_n=\frac{x_n-\bar{x}}{s}\]
Beispiel: (Mittelwert und Standardabweichung siehe Tabelle oben)
\[z_n=\frac{x_n-166.92}{5.66}\]
## Warning: Using `size` aesthetic for lines was deprecated in ggplot2 3.4.0.
## ℹ Please use `linewidth` instead.
Wir sehen, dass das standardisierte Histogramm und die standardisierte Normalverteilungskurve genau gleich aussehen, wie mit den nicht transformierten Originaldaten. Was bringt uns das also?
Wenn wir beliebige, normalverteilte Merkmale messen, werden wir immer wieder neue Normalverteilungen mit ihrem eigenen Mittelwert und ihrer eigenen Standardabweichung erhalten. D.h. die Normalverteilungskurve wird manchmal breiter, manchmal schmaler, manchmal höher, manchmal tiefer sein. Jedes beliebige Merkmal weist seine charakteristische Verteilung auf. In der Statistik interessieren wir uns oft für die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Ereignis eintritt (z.B. das Ereignis, dass eine Studentin 168 cm gross ist), und effektiv ist die Normalverteilung eine Wahrscheinlichkeitsverteilung. Die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten erfolgt über die Berechnung von Flächeninhalten unter der Normalverteilungskurve wobei die gesamte Fläche unter der Kurve stets gleich 1 ist (Tönt kompliziert, ist es aber nicht. Wir werden das unten üben). Die Berechnung von Flächen unter Kurven ist tatsächlich eine nicht ganz triviale Angelegenheit. Um diese Berechnungen zu erleichtern, wurde die Standardnormalverteilung “erfunden”. Die Standardisierung erfolgt über die Berechnung von sog. z-Werten. Die z-Werte-Tabelle ist ein Hilfsmittel, das es uns erlaubt, für beliebige Normalverteilungen beliebige Flächeninhalte und somit Wahrscheinlichkeiten zu berechnen.
Uns interessiert jetzt die Frage Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Studentin eine bestimmte Körpergrösse aufweist?. Aus hier nicht näher erläuterten Gründen ist es nicht möglich, diese Wahrscheinlichkeit exakt zu berechnen (sie wäre gleich Null). Was jedoch möglich ist, ist die Beantwortung der Frage Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit dass eine Studentin gleich gross oder grösser, bzw. kleiner ist?.
Beispiel: Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Studientin 163 cm gross oder kleiner ist?
\[z_{163} = \frac{163 - 166.92}{5.66} = -0.693\]
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Studentin 163 cm gross oder kleiner ist, entspricht der Grösse der Fläche unter der Kurve links von der violetten Linie. Wir können schon von blossem Auge sagen, dass die Wahrscheinlichkeit kleiner als 50% sein muss, da die violette Linie bei 163 cm die Fläche in eine kleinere linke und eine grössere rechte Fläche teilt.
Aber wie genau berechnet man jetzt die Grösse der blauen Fläche? Bevor Computerprogramme die Berechnung übernommen haben, hat man sich mit sogenannten z-Werte-Tabellen (siehe z.B. http://eswf.uni-koeln.de/glossar/zvert.htm) beholfen. Weil es unmöglich ist für alle möglichen Verteilungen Tabellen zu berechnen, wurde die z-Transformation entwickelt. Damit lassen sich beliebige Normalverteilungen in eine standardisierte Verteilung umwandeln. Heute übernimmt diese Arbeit der PC, wir machen es hier aber von Hand, um zu verstehen, was da vorgeht.
Übung: Welche Wahrscheinlichkeit gibt die Z-Wertetabelle für den z-Wert -0.6926956 an?
Der Computer berechnet die Wahrscheinlichkeit, dass eine Studentin in PHY13-PHY17 163 cm oder kleiner ist mit p = 0.2442503.
Übung: Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Studentin 163 cm oder grösser ist?
Dies ist die Umkehrung der Frage. Da die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Studentin 163 cm oder kleiner ist jetzt bekannt ist, lässt sich die Frage ganz einfach beantworten, da bekanntlicherweise die Fläche unter der Kurve gleich 1 ist.
Lösung: Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Studentin 163 cm oder grösser ist beträgt
\[1-(Wahrscheinlichkeit für \leq 163 cm) = 1-0.2403793\] also p = 0.7557497.
Ziel: z-Werte für Körpergrössen von Studentinnen berechnen
Tipp: Berechnen Sie die z-Werte von Hand mit einem Taschenrechner.
\(z = \frac{176 - 166.9396}{5.587423} = 1.62157\)
\(z = \frac{166.94 - 166.9396}{5.587423} = 7.158935 \times 10^{-5} \approx 0\)
\(z = \frac{195 - 166.9396}{5.587423} = 5.022065\)
Ziel: Wahrscheinlichkeiten für Körpergrössen von Studentinnen berechnen.
Erstellen Sie jeweils eine Skizze für jede Frage und überlegen Sie, ob der z-Wert jeweils links oder rechts vom Mittelwert liegt und ob p kleiner oder grösser 50% ist.
Vorgehen: Sie können die Wahrscheinlichkeiten für ihre berechneten z-Werte entweder mit der z-Werte-Tabelle bestimmen oder mit jamovi. Wir beschreiben hier das Vorgehen für jamovi.
pnorm().pnorm() die Wahrscheinlichkeit für einen
bestimmten z-Wert berechnen kann, benötigt die Funktion die Kennzahlen
der Verteilung Mittelwert und Standardabweichung,
daraus ergibt sich die Syntax von pnorm()\[pnorm(z-Wert, mean = Mittelwert,~ sd = Standardabweichung, ~ lower.tail = FALSE/TRUE)\]
lower.tail gibt an, ob die Fläche unter
der Kurve links vom z-Wert berechnet werden soll (p für \(\leq\) z-Wert, lower.tail = TRUE), oder die
Fläche unter der Kurve rechts vom Wert (p für \(\geq\) Wert, lower.tail = FALSE).lower.tail = TRUE eingestellt. Statt
lower.tail = FALSE kann die Fläche rechts vom z-Wert auch
als 1 - pnorm() berechnet werden.Codebeispiel:
pnorm(z-Wert, mean = 0, sd = 1, lower.tail = FALSE) # Fläche links vom z-Wert
1 - pnorm(z-Wert, mean = 0, sd = 1, lower.tail = FALSE) # Fläche rechts vom z-WertZur Erinnerung: Mittelwert und Standardabweichung für die Grösse der Studentinnen sind
| Mittelwert | Standardabweichung |
|---|---|
| 166.923 | 5.664 |
Skizze:
pnorm(176, mean = 166.924, sd = 5.664, lower.tail = TRUE)## [1] 0.9454665
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Studentin 176 cm oder kleiner ist beträgt p = 0.945 (94.5%). Mit anderen Worten, 94.5% der Studentinnen sind 176 cm gross oder kleiner.
Skizze
pnorm(176, mean = 166.924, sd = 5.664, lower.tail = FALSE)## [1] 0.05453347
1 - pnorm(176, mean = 166.924, sd = 5.664) # ergibt das gleiche Resultat## [1] 0.05453347
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Studentin 176 cm oder grösser ist beträgt p = 0.055 (5.5%). Mit anderen Worten, 5.5% der Studentinnen sind 176 cm gross oder grösser.
pnorm(166.924, mean = 166.924, sd = 5.664, lower.tail = TRUE)## [1] 0.5
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Studentin 166.924 cm oder kleiner ist beträgt p = 0.5 (50%). Mit anderen Worten, 50% der Studentinnen sind 176 cm gross oder kleiner.
pnorm(166.924, mean = 166.924, sd = 5.664, lower.tail = FALSE) ## [1] 0.5
1 - pnorm(166.924, mean = 166.924, sd = 5.664) # ergibt das gleiche Resultat## [1] 0.5
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Studentin 166.924 cm oder grösser ist beträgt p = 0.5 (50%). Mit anderen Worten, 50% der Studentinnen sind 166.924 cm gross oder grösser.
pnorm(195, mean = 166.924, sd = 5.664, lower.tail = FALSE)## [1] 3.580956e-07
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Studentin 195 cm oder grösser ist beträgt p = 0.00000036 (0.000036%). Mit anderen Worten, die Wahrscheinlichkeit, dass eine Studentin grösser als 195 cm ist, ist extrem klein.
Lösungsweg: Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine Studentin kleiner als 176 cm ist (grüne Fläche) und ziehen Sie von diesem Wert die Wahrscheinlichkeit ab, dass eine Studentin kleiner als 163 cm gross ist (rote Fläche).
pnorm(176, mean = 166.924, sd = 5.664, lower.tail = TRUE) - pnorm(163, mean = 166.924, sd = 5.664, lower.tail = TRUE)## [1] 0.7012479
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Studentin grösser als 163 cm und kleiner als 176 cm ist ist p = 0.701 (70.1%), d.h. ca. 70% der Studentinnen sind zwischen 163 cm und 176 cm gross.
Wie gross ist eine “normalgrosse” Studentin in PHY13 - PHY17 (Tipp: Gesucht ist der 95%-Normbereich)?
Wir erinnern uns, dass unter “normal” die zentralen 95% der Merkmalsausprägungen definiert sind. Die zentralen 95% bedeutet, die Fläche unter der Normalverteilungskurve zwischen Mittelwert minus 2 (eigentlich 1.96) Standardabweichungen und Mittelwert plus 2 (eigentlich 1.96) Standardabweichungen.D.h.
\(Normbereich_{untere Grenze} = \bar{x}-2s\)
\(Normbereich_{obere Grenze} = \bar{x}+2s\)
Daraus folgt: “Normalgrosse” Studentinnen sind zwischen
\(Normbereich_{untere Grenze} = 166.92 - 2 \times 5.66 = 166.94 - 11.18 = 155.62\)
\(Normbereich_{obere Grenze} = 166.92 + 2 \times 5.66 = 166.94 + 11.18 = 178.26\)
cm gross.
Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Körpergrösse einer Studentin ausserhalb (also oberhalb oder unterhalb) des 95%-Normbereichs liegt?
Die beiden 2.5%-Flächen in der Abbildung zu Aufgabe 3 liegen ausserhalb des 95%-Normbereichs: 100% - 95% = 5%.
\[p = 0.025 + 0.025 = 0.05 = 5\%\]
Wie gross muss eine Studentin mindestens sein, damit sie zu den 10% grössten Studentinnen gehört?
qnorm() in Rj-Editor bestimmen (s. unten)z-Werte-Tabelle
\[ x_i =\bar{x} + z \times s = 166.9 + 1.28 \times 5.664 = 174.15 \]
## z-Wert für die 90. Perzentile in Rj-Editor bestimmen
qnorm(.9)
## Groesse auf der 90. Perzentile aus einer Normalverteilung bestimmen
qnorm(.9, mean = mean(data$Groesse), sd = sd(data$Groesse))## [1] 1.281552
## [1] 174.1823
Eine Studentin muss mindestens 174.18 cm gross sein, damit sie zu den 10% der grössten Studentinnen gehört.
qnorm() in Rj-Editor bestimmen (s.
unten)## z-Wert für die 25. Perzentile bestimmen in Rj-Editor
qnorm(.25)
## Groesse auf der 90. Perzentile aus einer Normalverteilung bestimmen
qnorm(.25, mean = mean(data$Groesse), sd = sd(data$Groesse))## [1] -0.6744898
## [1] 163.1031
Eine Studentin, die auf der 25. Perzentile liegt, ist 163.10 cm gross.