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Wahrscheinlichkeiten

Zum Aufwärmen ein paar einfache Übungen zu Wahrscheinlichkeiten


Übung 1

Aufgaben

  1. Sie werfen einen 6-seitigen Würfel. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Wurf eine 6 zu erhalten?
  2. Sie werfen den Würfel nochmals. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Wurf keine 6 zu erhalten?
  3. Sie werfen den Würfel nochmals. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, beim 2. Wurf eine 6 zu erhalten.
  4. Sie ziehen blind eine Karte aus einem Kartenspiel mit 36 Karten. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie Herz-As ziehen?
  5. Sie ziehen blind eine Karte aus einem Kartenspiel mit 36 Karten. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie kein Herz-As ziehen?


Lösungen

  1. Sie werfen einen 6-seitigen Würfel. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Wurf eine 6 zu erhalten?
  • Die Wahrscheinlichkeit für jede Seite beträgt p = 1/6; sie ist für jede Seite gleich gross. Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit für eine 6 p = 1/6 = ca. 17%
  1. Sie werfen den Würfel nochmals. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Wurf keine 6 zu erhalten?

  • Sie werden in jedem Fall eine Zahl zwischen 1 und 6 werfen, etwas anderes gibt es nicht. Die Gesamtwahrscheinlichkeit addiert sich zu
    \[P = 1/6 (für 1) + 1/6 (für 2) + 1/6 (für 3) + 1/6 (für 4) + 1/6 (für 5) + 1/6 (für 6) = 1\]

  • Die Wahrscheinlichkeit, keine 6 zu würfeln beträgt also

\[P(\neq 6) = 1/6 (für 1) + 1/6 (für 2) + 1/6 (für 3) + 1/6 (für 4) + 1/6 (für 5) = 5/6 \approx 83\%\]

  • Einfacher geht es so: \(P = 1 - P(6) = 1 - 1/6 = 5/6\)
  1. Sie werfen den Würfel nochmals. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, beim 2. Wurf eine 6 zu erhalten.
  • Die Wahrscheinlichkeit beträgt immer noch p = 1/6. Die Wahrscheinlichkeit hat ja kein Gedächtnis und erinnert sich nicht daran, dass Sie schon einmal eine 6 gewürfelt haben.
  • Eine andere Frage wäre: Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, bei 2 Würfen zweimal hintereinander eine 6 zu erhalten. In diesem Fall ist \(P(6|6) = 1/6 \times 1/6 = 1/36\).
  • P(6|6) bezeichnen wir als bedingte Wahrscheinlichkeit weil die Bedingung für den zweiten Wurf durch den ersten Wurf definiert ist. Auch der p-Wert beim Hypothesenprüfen in der Statistik ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit: Er gibt an, wie gross die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis ist unter der Bedingung, dass die Nullhypothese wahr ist. Aber wir greifen jetzt etwas vor, das kommt später ;)
  1. Sie ziehen blind eine Karte aus einem Kartenspiel mit 36 Karten. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie Herz-As ziehen?
  • Bei 36 Karten beträgt die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Karte zu ziehen \(P = 1/36\)
  1. Sie ziehen blind eine Karte aus einem Kartenspiel mit 36 Karten. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie kein Herz-As ziehen, also eine x-beliebige andere Karte? \(P = 1 - 1/36 = 35/36\)


Normalverteilung und z-Werte

In den folgenden Übungen arbeiten wir mit dem bereits bekannten Datensatz physio.csv, der Daten von 228 Studierenden der Physiotherapie enthält. Wenn Sie den Datensatz bei den Übungen zur deskriptiven Statistik als physio.omv gespeichert haben, sind die Variablen bereits kategorisiert und Sie arbeiten mit diesem Datensatz, andernfalls laden Sie physio.csvin jamovi und kategorisieren als erstes die Variablen wie in den Übungen zur deskriptiven Statistik beschrieben.

Kurze Einführung

Wie gross sind die Studentinnen?

Als erstes verschaffen wir uns einen Überblick zu den Kennzahlen der Körpergrösse der Studentinnen und stellen diese in einem Histogramm dar.

Kennzahlen zu Studentinnen PHY13-PHY17
n m median s min max
183 166.92 167 5.66 148 183

Anleitung für jamovi:

Wir arbeiten mit einem Teildatensatz für Studentinnen. Dazu müssen wir unsere Daten Filtern. Das geht folgendermassen: jamovi > Register Data > Menüband Filters > im Fenster geben sie = Geschlecht == “w” ein und schliessen mit der Enter/Return-Taste ab. Im Tabellenfenster links ist eine neue Spalte mit der Bezeichnung Filter 1 erschienen. Bei den Frauen (Geschlecht == “w”) sollte in dieser Spalte ein grünes Häckchen und bei den Männern (Geschlecht== “m”) ein rotes X eingetragen sein.

Hilfe zum Filtern von Daten bieten diese Video-Tutorials

Wenn der Filter gesetzt ist, können Sie die Kennzahlen und das Histogramm (ohne Normalverteilungskurve) in jamovi erstellen, wie wir das bei den Übungen zur deskriptiven Statistik gelernt haben.


Repetition: Umwandlung der Verteilung in eine Standard-Normalverteilung

Die Standardnormalverteilung ist gekennzeichnet durch den Mittelwert 0 und die Standardabweichung 1. Die Umwandlung einer beliebigen Verteilung erfolgt nach der Formel:

\[z_n=\frac{x_n-\bar{x}}{s}\]

Beispiel: (Mittelwert und Standardabweichung siehe Tabelle oben)

\[z_n=\frac{x_n-166.92}{5.66}\]

## Warning: Using `size` aesthetic for lines was deprecated in ggplot2 3.4.0.
## ℹ Please use `linewidth` instead.

Wir sehen, dass das standardisierte Histogramm und die standardisierte Normalverteilungskurve genau gleich aussehen, wie mit den nicht transformierten Originaldaten. Was bringt uns das also?

Wenn wir beliebige, normalverteilte Merkmale messen, werden wir immer wieder neue Normalverteilungen mit ihrem eigenen Mittelwert und ihrer eigenen Standardabweichung erhalten. D.h. die Normalverteilungskurve wird manchmal breiter, manchmal schmaler, manchmal höher, manchmal tiefer sein. Jedes beliebige Merkmal weist seine charakteristische Verteilung auf. In der Statistik interessieren wir uns oft für die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Ereignis eintritt (z.B. das Ereignis, dass eine Studentin 168 cm gross ist), und effektiv ist die Normalverteilung eine Wahrscheinlichkeitsverteilung. Die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten erfolgt über die Berechnung von Flächeninhalten unter der Normalverteilungskurve wobei die gesamte Fläche unter der Kurve stets gleich 1 ist (Tönt kompliziert, ist es aber nicht. Wir werden das unten üben). Die Berechnung von Flächen unter Kurven ist tatsächlich eine nicht ganz triviale Angelegenheit. Um diese Berechnungen zu erleichtern, wurde die Standardnormalverteilung “erfunden”. Die Standardisierung erfolgt über die Berechnung von sog. z-Werten. Die z-Werte-Tabelle ist ein Hilfsmittel, das es uns erlaubt, für beliebige Normalverteilungen beliebige Flächeninhalte und somit Wahrscheinlichkeiten zu berechnen.

Arbeiten mit z-Werten

Uns interessiert jetzt die Frage Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Studentin eine bestimmte Körpergrösse aufweist?. Aus hier nicht näher erläuterten Gründen ist es nicht möglich, diese Wahrscheinlichkeit exakt zu berechnen (sie wäre gleich Null). Was jedoch möglich ist, ist die Beantwortung der Frage Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit dass eine Studentin gleich gross oder grösser, bzw. kleiner ist?.

Beispiel: Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Studientin 163 cm gross oder kleiner ist?

\[z_{163} = \frac{163 - 166.92}{5.66} = -0.693\]

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Studentin 163 cm gross oder kleiner ist, entspricht der Grösse der Fläche unter der Kurve links von der violetten Linie. Wir können schon von blossem Auge sagen, dass die Wahrscheinlichkeit kleiner als 50% sein muss, da die violette Linie bei 163 cm die Fläche in eine kleinere linke und eine grössere rechte Fläche teilt.

Aber wie genau berechnet man jetzt die Grösse der blauen Fläche? Bevor Computerprogramme die Berechnung übernommen haben, hat man sich mit sogenannten z-Werte-Tabellen (siehe z.B. http://eswf.uni-koeln.de/glossar/zvert.htm) beholfen. Weil es unmöglich ist für alle möglichen Verteilungen Tabellen zu berechnen, wurde die z-Transformation entwickelt. Damit lassen sich beliebige Normalverteilungen in eine standardisierte Verteilung umwandeln. Heute übernimmt diese Arbeit der PC, wir machen es hier aber von Hand, um zu verstehen, was da vorgeht.

Übung: Welche Wahrscheinlichkeit gibt die Z-Wertetabelle für den z-Wert -0.6926956 an?

Der Computer berechnet die Wahrscheinlichkeit, dass eine Studentin in PHY13-PHY17 163 cm oder kleiner ist mit p = 0.2442503.

Übung: Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Studentin 163 cm oder grösser ist?

Dies ist die Umkehrung der Frage. Da die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Studentin 163 cm oder kleiner ist jetzt bekannt ist, lässt sich die Frage ganz einfach beantworten, da bekanntlicherweise die Fläche unter der Kurve gleich 1 ist.

Lösung: Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Studentin 163 cm oder grösser ist beträgt

\[1-(Wahrscheinlichkeit für \leq 163 cm) = 1-0.2403793\] also p = 0.7557497.

Übungen

  • Arbeiten Sie mit der z-Werte-Tabelle (http://eswf.uni-koeln.de/glossar/zvert.htm) oder mit der R-Konsole in jamovi.
  • Alle Übungen werden mit dem Teildatensatz für Studentinnen (jamovi:Filter = Geschlecht == “w”) durchgeführt.
  • Für gewisse Übungen muss das Modul Rj - Editor to run R code inside jamovi installiert sein. Sie können dieses Modul über die Schaltfläche Modules (grosses Pluszeichen im Menüband) installieren. Wählen Sie Modules > jamovi library > Rj - Editor to run R code inside jamovi und das Modul wird installiert. Sie erkennen das nach der Installation am R-Symbol in der Menüleiste.

Übung 1

Ziel: z-Werte für Körpergrössen von Studentinnen berechnen

Aufgaben

  1. Wie gross ist der z-Wert für die Körpergrösse 176 cm?
  2. Wie gross ist der z-Wert für die Körpergrösse 166.94 cm?
  3. Wie gross ist der z-Wert für die Körpergrösse 195 cm?

Tipp: Berechnen Sie die z-Werte von Hand mit einem Taschenrechner.


Lösungen

  1. \(z = \frac{176 - 166.9396}{5.587423} = 1.62157\)

  2. \(z = \frac{166.94 - 166.9396}{5.587423} = 7.158935 \times 10^{-5} \approx 0\)

  3. \(z = \frac{195 - 166.9396}{5.587423} = 5.022065\)


Übung 2

Ziel: Wahrscheinlichkeiten für Körpergrössen von Studentinnen berechnen.

Aufgaben

Erstellen Sie jeweils eine Skizze für jede Frage und überlegen Sie, ob der z-Wert jeweils links oder rechts vom Mittelwert liegt und ob p kleiner oder grösser 50% ist.

  1. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Studentin 176 cm oder kleiner ist?
  2. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Studentin 176 cm oder grösser ist?
  3. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Studentin 166.924 cm oder kleiner ist?
  4. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Studentin 166.924 cm oder grösser ist?
  5. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Studentin 195 cm oder grösser ist?
  6. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Studentin zwischen 163 cm und 176 cm gross ist?


Lösungen

Vorgehen: Sie können die Wahrscheinlichkeiten für ihre berechneten z-Werte entweder mit der z-Werte-Tabelle bestimmen oder mit jamovi. Wir beschreiben hier das Vorgehen für jamovi.

  • Öffnen Sie den Rj-Editor durch Klick auf das R-Symbol in der Menüleiste.
  • Die Funktion zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten unter der Normalverteilung in R heisst pnorm().
  • Damit pnorm() die Wahrscheinlichkeit für einen bestimmten z-Wert berechnen kann, benötigt die Funktion die Kennzahlen der Verteilung Mittelwert und Standardabweichung, daraus ergibt sich die Syntax von pnorm()

\[pnorm(z-Wert, mean = Mittelwert,~ sd = Standardabweichung, ~ lower.tail = FALSE/TRUE)\]

  • Der Parameter lower.tail gibt an, ob die Fläche unter der Kurve links vom z-Wert berechnet werden soll (p für \(\leq\) z-Wert, lower.tail = TRUE), oder die Fläche unter der Kurve rechts vom Wert (p für \(\geq\) Wert, lower.tail = FALSE).
  • Standardmässig ist lower.tail = TRUE eingestellt. Statt lower.tail = FALSE kann die Fläche rechts vom z-Wert auch als 1 - pnorm() berechnet werden.
  • Geben Sie den Code mit dem z-Wert in der Klammer im Rj-Editor-Fenster ein und drücken Sie zur Ausführung des Codes den grünen Pfeil oben rechts.

Codebeispiel:

pnorm(z-Wert, mean = 0, sd = 1, lower.tail = FALSE)     # Fläche links vom z-Wert  
1 - pnorm(z-Wert, mean = 0, sd = 1, lower.tail = FALSE) # Fläche rechts vom z-Wert

Zur Erinnerung: Mittelwert und Standardabweichung für die Grösse der Studentinnen sind

Mittelwert Standardabweichung
166.923 5.664
  1. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Studentin 176 cm oder kleiner ist?
  • Gegebener Wert = 176
  • Mittelwert = 166.924
  • Standardabweichung = 5.664
  • Gesucht wird \(p \leq z\)-Wert

Skizze:

pnorm(176, mean = 166.924, sd = 5.664, lower.tail = TRUE)
## [1] 0.9454665

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Studentin 176 cm oder kleiner ist beträgt p = 0.945 (94.5%). Mit anderen Worten, 94.5% der Studentinnen sind 176 cm gross oder kleiner.

  1. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Studentin 176 cm oder grösser ist?
  • Gegebener Wert = 176
  • Mittelwert = 166.924
  • Standardabweichung = 5.664
  • Gesucht wird \(p \geq z\)-Wert

Skizze

pnorm(176, mean = 166.924, sd = 5.664, lower.tail = FALSE)
## [1] 0.05453347
1 - pnorm(176, mean = 166.924, sd = 5.664)  # ergibt das gleiche Resultat
## [1] 0.05453347

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Studentin 176 cm oder grösser ist beträgt p = 0.055 (5.5%). Mit anderen Worten, 5.5% der Studentinnen sind 176 cm gross oder grösser.

  1. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Studentin 166.924 cm oder kleiner ist?
  • Gegebener Wert = 166.924
  • Mittelwert = 166.924
  • Standardabweichung = 5.664
  • Gesucht wird \(p \leq z\)-Wert

pnorm(166.924, mean = 166.924, sd = 5.664, lower.tail = TRUE)
## [1] 0.5

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Studentin 166.924 cm oder kleiner ist beträgt p = 0.5 (50%). Mit anderen Worten, 50% der Studentinnen sind 176 cm gross oder kleiner.

  1. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Studentin 166.924 cm oder grösser ist?
  • Gegebener Wert = 166.924
  • Mittelwert = 166.924
  • Standardabweichung = 5.664
  • Gesucht wird \(p \geq z\)-Wert

pnorm(166.924, mean = 166.924, sd = 5.664, lower.tail = FALSE) 
## [1] 0.5
1 - pnorm(166.924, mean = 166.924, sd = 5.664)  # ergibt das gleiche Resultat
## [1] 0.5

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Studentin 166.924 cm oder grösser ist beträgt p = 0.5 (50%). Mit anderen Worten, 50% der Studentinnen sind 166.924 cm gross oder grösser.

  1. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Studentin 195 cm oder grösser ist?
  • Gegebener Wert = 195
  • Mittelwert = 166.924
  • Standardabweichung = 5.664
  • Gesucht ist \(p \geq z\)-Wert

pnorm(195, mean = 166.924, sd = 5.664, lower.tail = FALSE)
## [1] 3.580956e-07

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Studentin 195 cm oder grösser ist beträgt p = 0.00000036 (0.000036%). Mit anderen Worten, die Wahrscheinlichkeit, dass eine Studentin grösser als 195 cm ist, ist extrem klein.

  1. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Studentin zwischen 163 cm und 176 cm gross ist?

Lösungsweg: Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine Studentin kleiner als 176 cm ist (grüne Fläche) und ziehen Sie von diesem Wert die Wahrscheinlichkeit ab, dass eine Studentin kleiner als 163 cm gross ist (rote Fläche).

pnorm(176, mean = 166.924, sd = 5.664, lower.tail = TRUE) - pnorm(163, mean = 166.924, sd = 5.664, lower.tail = TRUE)
## [1] 0.7012479

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Studentin grösser als 163 cm und kleiner als 176 cm ist ist p = 0.701 (70.1%), d.h. ca. 70% der Studentinnen sind zwischen 163 cm und 176 cm gross.


Übung 3

Aufgabe

Wie gross ist eine “normalgrosse” Studentin in PHY13 - PHY17 (Tipp: Gesucht ist der 95%-Normbereich)?


Lösung

Wir erinnern uns, dass unter “normal” die zentralen 95% der Merkmalsausprägungen definiert sind. Die zentralen 95% bedeutet, die Fläche unter der Normalverteilungskurve zwischen Mittelwert minus 2 (eigentlich 1.96) Standardabweichungen und Mittelwert plus 2 (eigentlich 1.96) Standardabweichungen.D.h.

\(Normbereich_{untere Grenze} = \bar{x}-2s\)

\(Normbereich_{obere Grenze} = \bar{x}+2s\)

Daraus folgt: “Normalgrosse” Studentinnen sind zwischen

\(Normbereich_{untere Grenze} = 166.92 - 2 \times 5.66 = 166.94 - 11.18 = 155.62\)

\(Normbereich_{obere Grenze} = 166.92 + 2 \times 5.66 = 166.94 + 11.18 = 178.26\)

cm gross.



Übung 4

Aufgabe

Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Körpergrösse einer Studentin ausserhalb (also oberhalb oder unterhalb) des 95%-Normbereichs liegt?


Lösung

Die beiden 2.5%-Flächen in der Abbildung zu Aufgabe 3 liegen ausserhalb des 95%-Normbereichs: 100% - 95% = 5%.

\[p = 0.025 + 0.025 = 0.05 = 5\%\]


Übung 5

Aufgabe

  1. Wie gross muss eine Studentin mindestens sein, damit sie zu den 10% grössten Studentinnen gehört?
  2. Wie gross ist eine Studentin, die auf der 25. Perzentile liegt?


Lösung

  1. Wie gross muss eine Studentin mindestens sein, damit sie zu den 10% grössten Studentinnen gehört?

    1. z-Wert für 90% in z-Tabelle ablesen \(z \approx 1.28\), alternativ z-Wert mit der Funktion qnorm() in Rj-Editor bestimmen (s. unten)

z-Werte-Tabelle

  1. \[ z = \frac{x_i - \bar{x}}{s} \]

\[ x_i =\bar{x} + z \times s = 166.9 + 1.28 \times 5.664 = 174.15 \]

## z-Wert für die 90. Perzentile in Rj-Editor bestimmen
qnorm(.9)

## Groesse auf der 90. Perzentile aus einer Normalverteilung bestimmen
qnorm(.9, mean = mean(data$Groesse), sd = sd(data$Groesse))
## [1] 1.281552
## [1] 174.1823

Eine Studentin muss mindestens 174.18 cm gross sein, damit sie zu den 10% der grössten Studentinnen gehört.


  1. Wie gross ist eine Studentin, die auf der 25. Perzentile liegt?
  1. z-Wert für 25. Perzentile in z-Tabelle ablesen \(z \approx -0.67\); alternativ z-Wert mit der Funktion qnorm() in Rj-Editor bestimmen (s. unten)
  2. \[ z = \frac{x_i - \bar{x}}{s} \] \[ x_i =\bar{x} + z \times s = 166.9 -0.67 \times 5.664 = 163.1 \]
## z-Wert für die 25. Perzentile bestimmen in Rj-Editor
qnorm(.25)

## Groesse auf der 90. Perzentile aus einer Normalverteilung bestimmen
qnorm(.25, mean = mean(data$Groesse), sd = sd(data$Groesse))
## [1] -0.6744898
## [1] 163.1031

Eine Studentin, die auf der 25. Perzentile liegt, ist 163.10 cm gross.